Álgebra lineal Ejemplos

$8 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Paso 1

Calcula la distancia desde $(a, b)$ hasta el origen mediante la fórmula $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(8 \cos (\frac{π}{2}))}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Paso 2

Simplifica $\sqrt{{(8 \cos (\frac{π}{2}))}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$ .

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Paso 2.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$r = \sqrt{{(8 \cdot 0)}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Paso 2.2

Multiplica $8$ por $0$ .

$r = \sqrt{0^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Paso 2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$r = \sqrt{0 + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Paso 2.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$r = \sqrt{0 + {(1 \cdot 8)}^{2}}$

Paso 2.5

Multiplica $8$ por $1$ .

$r = \sqrt{0 + 8^{2}}$

Paso 2.6

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{0 + 64}$

Paso 2.7

Suma $0$ y $64$ .

$r = \sqrt{64}$

Paso 2.8

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$r = \sqrt{8^{2}}$

Paso 2.9

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$r = 8$

Paso 3

Calcula el ángulo de referencia $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8}{8 \cos (\frac{π}{2})} |)$

Paso 4

La ecuación tiene una fracción indefinida.

Indefinida

Paso 5

Obtén el cuadrante.

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Paso 5.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$(8 \cdot 0, \sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)$

Paso 5.2

Multiplica $8$ por $0$ .

$(0, \sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)$

Paso 5.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$(0, 1 \cdot 8)$

Paso 5.4

Multiplica $8$ por $1$ .

$(0, 8)$

Paso 5.5

Como la coordenada y es positiva y la coordenada x es $0$ , el punto está ubicado en el eje y entre el primer y cuarto cuadrante. Los cuadrantes están etiquetados en sentido contrario a las agujas del reloj, con inicio en la esquina superior derecha.

Entre el cuadrante $1$ y $2$

Paso 6

Usa la fórmula para obtener las raíces del número complejo.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Paso 7

Sustituye $r$ , $n$ y $θ$ en la fórmula.

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Paso 7.1

Combina ${(8)}^{\frac{1}{3}}$ y $\frac{θ + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Paso 7.2

Combina $c$ y $\frac{{(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

Paso 7.3

Combina $i$ y $\frac{c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

Paso 7.4

Combina $s$ y $\frac{i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

Paso 7.5

Elimina los paréntesis.

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Paso 7.5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c (8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

Paso 7.5.2

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

Paso 7.5.3

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i (c \cdot 8^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k))}{3}$

Paso 7.5.4

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

Paso 7.5.5

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c \cdot 8^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k)}{3}$

Paso 7.5.6

Elimina los paréntesis.

$\frac{s (i c) \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Paso 7.5.7

Elimina los paréntesis.

$\frac{s i c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Paso 8

Sustituye $k = 0$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$k = 0 : {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Paso 8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 0 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Paso 8.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.3.1

Cancela el factor común.

$k = 0 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Paso 8.3.2

Reescribe la expresión.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Paso 8.4

Evalúa el exponente.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Paso 8.5

Multiplica $2 π (0)$ .

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Paso 8.5.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0 π}{3})$

Paso 8.5.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0}{3})$

Paso 9

Sustituye $k = 1$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$k = 1 : {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Paso 9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Paso 9.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.3.1

Cancela el factor común.

$k = 1 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Paso 9.3.2

Reescribe la expresión.

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Paso 9.4

Evalúa el exponente.

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Paso 9.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

Paso 10

Sustituye $k = 2$ en la fórmula y simplifica.

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Paso 10.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$k = 2 : {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Paso 10.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 2 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Paso 10.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.3.1

Cancela el factor común.

$k = 2 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Paso 10.3.2

Reescribe la expresión.

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Paso 10.4

Evalúa el exponente.

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Paso 10.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$

Paso 11

Enumera las soluciones.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0}{3})$

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$